哥德巴赫猜想简介（哥德巴赫的简介）

本文目录

• 哥德巴赫的简介
• 哥德巴赫猜想是指什么
• 哥德巴赫猜想是什么有什么意义吗
• 求哥德巴赫的个人简介及其成就
• 哥德巴赫猜想是什么
• 哥德巴赫猜想的具体内容是什么啊
• 哥德巴赫猜想被证实了吗
• 哥斯罢赫猜想是怎么回事
• 克里斯蒂安·哥德巴赫的简介
• 哥德巴赫猜想

哥德巴赫的简介

哥德巴赫德国一俄国数学家。1690年3月兜旧生于普鲁士的柯尼斯堡现为苏联的加里宁格勒；1764年11月20日卒于莫斯科。 哥德巴赫是一位牧师的儿子，在柯尼斯堡大学学习医学和数学。

1710年他周游欧洲这是有条件的人常常采取的一种增长阅历的方式。1725年他定居俄国，成为圣彼得堡帝国科学院的数学教授； 1728年担任了早逝的彼得二世彼得大帝的孙子的宫廷教师。 哥德巴赫之所以在数学上负有盛名，是由于他在1742年给欧拉的一封信中提到所谓“哥德巴赫猜想”。

哥德巴赫猜想是指什么

哥德巴赫猜想简介
哥德巴赫猜想是一个关于质数的猜想，由哥德巴赫提出来的，并且当时提出来之后被很多著名的数学家进行的验证，目前依然没有办法能够证明这个猜想的具体性质，而世界三大数学猜想中的费马猜想以及四色猜想已经得到了很好的证明，只有哥德巴赫猜想依然没有完全得到证实，在当今的数学领域最为接近这个猜想的数学家是来自亚洲的陈景润，下面带大家具体的认识一下哥德巴赫猜想以及世界三个数学猜想的具体内容和研究现状。

哥德巴赫
彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面的假定；“大于5的任何数(正整数)，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为“每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正确的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论（因为：奇数=3+偶数） 。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。

关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从2到1000的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢？此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，1912年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。
到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为（9+9），延自这一派的方法，1924年拉德马哈尔证明了（7+7），1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）；1938年，布赫斯塔勃先后证明了（5+5）和（4+4）；1956年维诺格拉多夫证明的（3+3）；1958年我国数学家王元证明了（2+3）。
另一证明方法是1948年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为（1+6），1962年，山东大学教授潘承洞证明了（1+5），同年，他又和王元证明了（1+4）；三年后1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了（1+3）。

哥德巴赫猜想是什么有什么意义吗

哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。

用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陈述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。    

这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而将一个给定的偶数分拆成两个素数之和，则被称之为此数的哥德巴赫分拆。

哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。

意义

民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，然而初等数学无法解决哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希尔伯特第八问题中的一个子问题。

扩展资料

背景

1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”

1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。

求哥德巴赫的个人简介及其成就

哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.18-1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
1729年-1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：
"我的问题是这样的：
随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：
77=53+17+7；
再任取一个奇数，比如461，
461=449+7+5，
也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。"
欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：
2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4.
若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想
二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。
十九世纪数学家康托（Cantor G.F.L.P.,1845.3.3~1918.1.6）耐心地试验了1000以内所有的偶数，奥培利又试验了1000~2000的全部偶数，他们都肯定了在所试验的范围内猜想是正确的。1911年梅利指出，从4到9000000之间绝大多数偶数都是两个素数之和，仅有14个数情况不明。后来甚至有人一直验算到三亿三千万这个数，都肯定了猜想是正确的。
1900年，德国数学家希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14）在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个最重要的问题供二十世纪的数学家来研究。其中第八问题为素数问题；在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要的问题之一。
1921年，英国数学家哈代（Hardy G.H.,1877.2.7~1947.12.1）在哥本哈根召开的数学会议上说过，哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。
近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多著名的数学家，并在证明上取得了很大的进展。在对一切偶数的研究方面，苏联人什尼列尔曼(1905~1938)第一个取得了成果，他指出任何整数都可以用一些素数的和来表示，而加数的个数不超过800000。1937年，苏联数学家维诺格拉夫（1891.9.14~1983.3.20）取得了进一步的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的和来表示。中国数学家陈景润（1933~ ）于1966年取得了更大的进展，他证明了每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与另一个自然数之和，而这另一个自然数可以表示为至多两个素数的乘积。通常简称此结果为大偶数可表为"1+2"。在陈景润之前，关于大偶数可表示为s个素数之积与t个素数之积的和的"s+ t"问题的研究进展情况如下：
1920年，挪威的布龙证明了"9+9"；
1924年，德国的拉特马赫证明了"7+7"；
1932年，英国的埃斯特曼证明了"6+6"；
1937年，意大利的蕾西先后证明了"5+7"、"4+9"、"3+15"和"2+366"；
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了"5+5"，1940年他又证明了"4+4"；
1948年，匈牙利的兰恩尼证明了"1+C"，其中C很大；
1956年，中国的王元（1930~ ）证明了"3+4"；1957年，他又先后证明了"3+3"和"2+3"；
1962年，中国的潘承洞（1934~ ）和苏联的巴尔巴恩证明了"1+5"；
1962年，中国的王元证明了"1+4"；1963年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证也证明了"1+4"；
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉夫及意大利的波波里证明了"1+3"；
1966后，中国的陈景润证明了"1+2"。
最终将由哪个国家的哪位数学家攻克大偶数表为两个素数之和（即"1+1"）的问题，现在还无法予测。

哥德巴赫猜想是什么

【哥德巴赫猜想简介】
当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。
那么，什么是哥德巴赫猜想呢？
哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想：
■1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；
■2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
■哥德巴赫相关
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
【哥德巴赫猜想小史】
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。
■哥德巴赫猜想证明进度相关
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。
■布朗筛法相关
布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明’至少还有一对自然数未被筛去’。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。
然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。
由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明哥德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。
哥德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。哥德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。
【哥德巴赫猜想意义】
“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。
事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决哥德巴赫猜想。
例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。
为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？
一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。
数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。
民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。
当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。
同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。
所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论。

哥德巴赫猜想的具体内容是什么啊

　　哥德巴赫猜想的具体内容是：
　　1、任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。
　　2、任一大于5的奇数都可写成三个质数之和的猜想。
　　哥德巴赫猜想简介
　　这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。
　　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。猜想手稿从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
　　任一大于5的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。

哥德巴赫猜想被证实了吗

哥德巴赫猜想没有被完全证实。哥德巴赫猜想只被证明了一部分。最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理。

也就是任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。

哥德巴赫猜想其他情况简介。

哥德巴赫猜想为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫知道自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定。从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。

哥斯罢赫猜想是怎么回事

【哥德巴赫猜想简介】 当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。 那么，什么是哥德巴赫猜想呢？ 哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想： ■1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和； ■2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。 ■哥德巴赫相关 哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。 【哥德巴赫猜想的来源】 1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。 在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道： "我的问题是这样的： 随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和： 77=53+17+7； 再任取一个奇数，比如461， 461=449+7+5， 也是这三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。 但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是一个别的检验。" 欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。” 不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式： 2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4. 若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。 但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。 现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想 【哥德巴赫猜想的小史】 1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。 ■哥德巴赫猜想证明进度相关 在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。

克里斯蒂安·哥德巴赫的简介

克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach， 1690年3月18日－1764年11月20日），又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学上的研究以数论为主，作为哥德巴赫猜想的提出者而闻名。哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年6月17日，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。1770年，英国数学家爱德华·华林（Waring Edward）首先将它公之于众 ，成为关于数学的一场革命。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想
我们容易得出：
4=2+2， 6＝3+3,8＝5+3,
10=7+3,12=7+5,14=11+3,……
那么，是不是所有的大于2的偶数，都可以表示为两个素数的呢？
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。
哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。
直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了迂回战术，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立。从20世纪20年代起，外国和中国的一些数学家先后证明了"9+9""2十3""1＋5""l＋4"等命题。
1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地证明了"1＋2"，也就是"任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗"数学王冠上的明珠"仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动。"1＋2" 也被誉为陈氏定理。
哥德巴赫的问题可以推论出以下两个命题,只要证明以下两个命题,即证明了猜想:
(a) 任何一个》=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个》=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen’s Theorem) 。“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。
1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。
1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。
1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。
1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。
1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。
1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
而1+1，这个哥德巴赫猜想中的最难问题，还有待解决。
中国对哥德巴赫猜想“{1+1}”的最新贡献：
------------哥德巴赫猜想解的优化公式，证明有解
......数论书上介绍的哥德巴赫猜想求解公式,如下:
r(N)为将偶数N表示为两个素数之和的表示法个数：
``````````p-1`````````1`````````N
r(N)～2∏——∏(1- ————)————..............(1)
..........P-2.......(P-1)^2..(lnN)^2
....P》2,P|N...P》2
利用“素数定理和筛法公式”的关系式
``1```````1``(P-1)^2
————～—∏————............(2)
(lnN)^2...4...P^2
得到哥德巴赫猜想的解的2次筛法公式，如下：
`````````p-1```N```P-2```N```p-1```P-2```P-1
r(N)～(∏——)(—∏——)=—∏——∏——∏——
.........P-2...2....P....2...P-2...P-1....P
....P》2,P|N.....P》2.....P》2,P|N...P》2...P》2
其中，第1项的P为偶数的素因子，其他项的P为偶数开方数内的奇素数，
筛法公式将偶数开方数内的奇素数也筛除掉了，即偶数内，
起头区和结尾区内的哥解被排除在公式外了。r(N)只等于中间主体区的哥解。
求解公式的优化方法:优化第二项∏。第二项∏展开,,如下：
为了清晰，假定“最大P为31”，同样，可推导到任意大。
``P-2````1``3``5``9``11`15`17`19`21`27`29
∏——== -·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-
..P-1....2..4..6.10..12.16.18.20.22.28.30
.P》2......... 第二项∏，称为“2次筛留系数”
将上面公式的分子左移一位。末项分子则为“1”。
``P-2````````3``5``9`11`15`17`19`21`27`29``1
∏——====== -·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-
..P-1........2..4..6.10.12.16.18.20.22.28.30
“素数的筛留系数”等于公式的第三项∏的（1/2），如下：
``P-1````````1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31
`````````````````````````````````2次筛留系数
2次筛留系数==素数的筛留系数·————————
..............................素数的筛留系数
``P-2``(`P-1`)`6``15`45`77````23(29-2)``29^2`````31``1
∏——=(∏—-)·-·-·-·-·.·————·———·—·—
..P-1..(...P.).2..8..24.60....(23-1)^2..(29-1)^2.30..30
把2次筛留系数各项分数对应的分母素数的素数符号改写为“D”
``P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``1
∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—
..P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30
“素数的筛留系数”，公式的分子左移一位。如下：
``P-1````````2``4``6``10`12`16`18`22`28`30``1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31
由筛法公式知,两个筛留系数对应的偶数略大于分母最大素数的平方。
取最接近偶数值的“K·K==31·31”分别代入两个筛留系数。
“素数的筛留部份数”，如下：
````P-1```````2``4``6``10`12`16`18`22`28`30`31
K∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·--》》1
.....P........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31
“2次筛留部份数”，如下：
```P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``31
K∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—》》1
...P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30
已知:偶数的素因子“P”的参数项如下：
``P-1`
∏—— 》1
..P-2
将上面三个分项公式相乘，就是哥德巴赫猜想主体解,
优化公式为三个大于1的参数相乘,大于1。
哥德巴赫猜想的解等于主体解加首尾解。
哥德巴赫猜想主体解大于1,等于哥德巴赫猜想的解大于1。
解大于1，证明哥德巴赫猜想成立。
青岛 王新宇
2005.1.15
-------------简介哥德巴赫猜想解的公式
`````哥德巴赫猜想就是：每个大于4的偶数都是2个素数之和。
例如：6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7，14=3+11=7+7，……。
```偶数的对称素数就是：“不大于该偶数且对称于该偶数正中间数
的素数。”对称素数就是符合哥德巴赫猜想的素数。
哥德巴赫猜想的证明,就是要证明“偶数内对称素数的个数不小于1”。
先介绍用筛法找出偶数内对称素数的方法。
筛法：是把包含在数中的数有选择条件的去掉一些，留下一些。
双筛法：把包含在偶数中的数从中间对折，分前半截，后半截：上，下二行。
中间数起往大的数筛（正向筛）。中间数起往小的数筛（反向筛）。
上行，下行删除一个素数的所有倍数（称为筛该数）
筛时，上，下同时筛（不论筛上，筛下；有筛数就筛上，下一对数）
用偶数开方内所有素数一一筛过后，剩下的数为对称素数。即G（x)
对给的偶数,只考察其中的奇数,
例1： 对0到44间的数。
删去偶数，留得44·（1/2）=22个奇数，
对21，19，17，15，13，11，9， 7， 5， 3， 1。 每3个删去第1对，
对23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43。 每3个删去第3对，
留得8个对称的数，
对19，13， 7，1 每5个删去第4对，
对25，31，37，43每5个删去第1对，
留得4个对称的数22-15=7,22+15=37,22-9=13,22+9=31
公式:
``````````1```1````3
G(44)=44·--·--·---≈4个,
..........2...3....5
表示44约有4个对称的素数7,37,13,31 。
例2: 对0到124间的数。删去偶数，得62个奇数，
对61,59,57,55,...，3，1 ， 每3个删去第3对，
对63,65,67,69,.. ,121,123, 每3个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3≈20个，
对59，53，47，41,35,....,11, 5 , 每5个删去第5对，
对65，71，77，83,89,...,113,119, 每5个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3·（5-2）/5≈12个，
对53，47，41, 23, 17, 11， 每7个删去第()对，
对71，77，83,101,107,113, 每7个删去第2对，
剩下 10个
``````1```3-2```5-2```7-1
124·--·----·----·----≈10个
......2...3.....5.....7
即;124有10个对称的素数
53,71,41,83,11,113,17,107,23,101.
哥德巴赫猜想的解的表达式；
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
表示x大约有G(x)个对称素数。与开方数内的素数对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸素数,p为P中的最大的素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例，
x 素因子的素数，选1; 非x素因子的素数， 选2 ;
大素数时，应按实际的删除系数代入(有底限)。
```“大偶数时，解的表达式能用吗？”。我的答复是：
“大偶数时，解的表达式不能和小偶数一样简单。
但是，有大于一的底限解是正确无疑地，可以用下述方法证明。”
假若大偶数开方数以内,所有的奇数和偶素数“2”都参入筛除,
即:取每一个奇合数,每一个奇合数减一,每一个素数,每一个素数减一,
以及“2”，做为分数的分母,取对应分数项的分子等于该项的分母减一,
这一极限筛除,仍有大于“1”的解数。
举例如下：偶数取1000000，其开方数内最大奇数为999。
````````````````````998``997``996```````5``4``3``2``1``1
G(1000000)=1000000·---·---·---·...·-·-·-·-·-·-
....................999..998..997.......6..5..4..3..2..2
将分子各项右移两位,每一项分数都大于一,大于一的众数的乘积数,仍大于一,
》1000000/(999·998)=1.003..=大于“1”的解
其他偶数极限超筛除时,同样有大于“1”的解 。
素数比合数少。只有少部分的数参入筛除，
少筛除了数，剩余数自然变大了。所以解大于一.
公式的解的是增函数, 只多不少。证明了哥德巴赫猜想成立。
```把哥德巴赫猜想的解的表达式改写；∏ 是各项连乘的运算符号
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
把解的表达式中除了(1/2)一项,把分子为(P-1)的数改为
(P-2)·{(P-1)/(P-2)},并把大括号数往前集中到第一个连乘运算式内.
把分子为(P-2)的数集中到后面的连乘运算式内
通过自然对数平方数的倒数与素数筛除系数的关系式
``1```````1``(P-1)^2 {1``2``4``6``10```P-rP``` p-rp}^2
————～—∏———={-·-·-·-·-·..·—...·---}
(lnN)^2...4...P^2....{2..3..5..7..11 ...P.......p..}
变换公式为连乘运算符号方式,变换公式为含平方数的方式,
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
```````p-1`````x```P-2
====(∏——)·(—∏——)
.......P-2.....2....P
....P》2,P|N...P》2
```````p-1````x````(P-2)P````(P-1)^2
====(∏——)·—∏(————·---——)
.......P-2....2....(P-1)^2....P^2
```````p-1````x```P^2-2P+1-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x```(P-1)^2-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x``````````1````````4
====(∏——)·—∏(1- ——---)·---——
.......P-2....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
```````p-1````````````1````````x
====2∏——·∏(1- ——---)·---——
.......P-2.........(P-1)^2...(lnx)^2
....P》2,P|N...P》2
其中，首∏的P是偶数的素因子的素数,后面的P表示素数集合中，
不大于开方数的素数；“·”表示相乘,∏表示各项连续乘,
“x/2”表示偶数中奇数的个数，可称为“内含奇数”。
P|x表示素数集合中，可整除x的素数的集合，可称为“素因子”。
P》2表示素数集合中，不包含“2”，可称为“奇素数”。
.....公式就是数论书上介绍的哥德巴赫猜想求解公式,如下:
r(N)为将偶数N表示为两个素数之和的表示法个数：
``````````p-1`````````1`````````N
r(N)～2∏——∏(1- ————)————..............(1)
..........P-2.......(P-1)^2..(lnN)^2
....P》2,P|N...P》2
利用“素数定理和筛法公式”的关系式
``1```````1``(P-1)^2
————～—∏————............(2)
(lnN)^2...4...P^2
得到哥德巴赫猜想的解的2次筛法公式，如下：
`````````p-1```N```P-2```N```p-1```P-2```P-1
r(N)～(∏——)(—∏——)=—∏——∏——∏——
.........P-2...2....P....2...P-2...P-1....P
....P》2,P|N.....P》2.....P》2,P|N...P》2...P》2
其中，第1项的P为偶数的素因子，其他项的P为偶数开方数内的奇素数，
筛法公式将偶数开方数内的奇素数也筛除掉了，即偶数内，
起头区和结尾区内的哥解被排除在公式外了。r(N)只等于中间主体区的哥解。
求解公式的优化方法:优化第二项∏。第二项∏展开,,如下：
``P-2````1``3``5``9``11`15`17`19`21`27`29`````最大P-2
∏——== -·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-....·-------
..P-1....2..4..6.10..12.16.18.20.22.28.30......最大P-1.
.P》2......... 第二项∏，称为“2次筛留系数”
将上面公式的分子左移一位。末项分子则为“1”。
``P-2````````3``5``9`11`15`17`19`21`27`29``````````1
∏——====== -·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-..·-------
..P-1........2..4..6.10.12.16.18.20.22.28.30....最大P-1.
“素数的筛留系数”等于公式的第三项∏的（1/2），如下：
``P-1````````1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30````最大P-1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·-------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31....最大P
`````````````````````````````````2次筛留系数
2次筛留系数==素数的筛留系数·————————
..............................素数的筛留系数
``P-2``(`P-1`)`6``15`45`77````23(29-2)``29^2`````31``1 `````1
∏——=(∏—-)·-·-·-·-·.·————·———·—·—.·-----
..P-1..(...P.).2..8..24.60....(23-1)^2..(29-1)^2.30..30 ...最大P
把2次筛留系数各项分数对应的分母素数的素数符号改写为“D”
``P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``1``````````1
∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—...·--------------------
..P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数最大素数的数
“素数的筛留系数”，公式的分子左移一位。如下：
``P-1````````2``4``6``10`12`16`18`22`28`30``1``````````1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·----------------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31.. 开方数内最大素数
由筛法公式知,两个筛留系数对应的偶数略大于分母最大素数的平方。
取最接近偶数值的“K·K==31·31”分别代入两个筛留系数。
“素数的筛留部份数”，如下：
````P-1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30`31``偶数的开方数
K∏——==-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-=----------------》》1
.....P...2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31..小于开方数的素数
“2次筛留部份数”，如下：
```P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``31``偶数的开方数
K∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—==---------------》》1
...P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数的数
已知:偶数的素因子“P”的参数项如下：
``P-1`
∏—— 》1
..P-2
将上面三个分项公式相乘，就是哥德巴赫猜想主体解,
优化公式为三个大于1的参数相乘,大于1。
哥德巴赫猜想的解等于主体解加首尾解。
哥德巴赫猜想主体解大于1,等于哥德巴赫猜想的解大于1。
解大于1，证明哥德巴赫猜想成立。
哥德巴赫猜想的解中的主体解，首尾解。举例如下：
实际解```偶数=(P·P+1),实际解个数,公式解G(N),
3,7,5`````````````````````````(10)```(3)..1.5对
3,23,7,13,19``````````````````(26)```(5)..2.5对
3,47,7,43,13,37,19,31,````````(50)```(8)..4..对
...................10的平方线.......
13.19,43.61.79.103.109,......(122)...(7)......7
..3,..7,.13|19,151,31.139.
167,163,157|43.127.61.109.67.103.97.73
首尾解.....|主体解............(170)..(12)....12
..7,.13,|.19,.61,.63,.79,.97,109,127,139,
283.277.|271.229.227.211.193.181.163.151
首尾解..|主体解...............(290)..(16)....16
3,353,11,349,13,347,首尾解|主体解
23.,337,29.,331,37.,313,43.,317,47.,313,
103,257,109,251,139,223,149,211,(360).(18)...18
..3,.13.|.31.79,139.151.163,181.
359.349.|331.283.223.211.199,181.
首尾解..|主体解................(362)..(12)
..7.|.31,.43,.67,.97,109.151.157.163.181.193.199.223.
523.|499.487.463.433.421.379.373.367.349.337.331.307..
首尾|主体解...................(530)..(24).....24.
3,839,13,829,19,823,首尾解|主体解
.31.811,.73,769,103.739.109.733.151.691.661.
181.643,199,631.211.619,223.613,229,601.241,
571,271,503,409,463.379,433,409,
..............................(842)..(30).....28