射影定理记忆口诀（高中新课标文科数学知识点总结！）

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• 高中新课标文科数学知识点总结！
• 在学习初三数学二十四章“圆”的时候，在题目中添加辅助线有什么规律和技巧
• 三角函数
• 高中文科数学知识点总结

高中新课标文科数学知识点总结！

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在学习初三数学二十四章“圆”的时候，在题目中添加辅助线有什么规律和技巧

添加的辅助线必须对题设有用，否则越添越乱，还不如不添。比较常见的添加方法是构成特殊三角形阿。如果添加的位置对的话题一下子就解决了。 不用的题有不同的添加方法，但方法就只有那几种，只不过变通一下而已。 其实圆是最好学的一章。。不明白为啥你们都不弄不明白||| 记得采纳啊

三角函数

三角函数 是 基本初等函数 之一 ， 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为 自变量 ，角度对应 任意角 终边与 单位圆 交点坐标或其比值为 因变量 的函数。也可以等价地用与 单位圆 有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和 圆 等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在 数学分析 中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是 复数 值。 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、 半正矢函数 、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为 双曲正弦函数 、 双曲余弦函数 等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。 中文名 三角函数 外文名 trigonometric function 提出者 印度数学家 提出时间 公元五世纪 适用领域 函数及图像 应用学科 数学 目录 1  发展历史 起源 古希腊历史 阿拉伯历史 弦表的发明 传入中国 2  定义 直角三角形三角函数定义 基本三角函数关系的速记方法 变化规律 任意角三角函数定义 单位圆定义 级数定义 3  三角学 4  特殊角 5  几何性质 函数图象 最小正周期 6  诱导公式 公式内容 推导方法 7  关于三角恒等式 两角和与差 和差化积 积化和差 二倍角公式 三倍角公式 n倍角公式 半角公式 辅助角公式 万能公式 降幂公式 三角和 幂级数 泰勒展开式 傅里叶级数 8  概念 9  推广 10  复数性质 11  相关定理 解释 正弦定理 余弦定理 正切定理 广义射影定理 三角恒等式 12  函数介绍 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 正矢函数 余矢函数 半正矢函数 半余矢函数 外正割函数 外余割函数 13  记忆口诀 发展历史 起源 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个 计算工具 ，是一个附属品，但是 三角学 的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。 三角学中” 正弦 ”和” 余弦 ”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比 托勒密 更精确的正弦表。 我们已知道，托勒密和 希帕克 造出的弦表是 圆 的全 弦 表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（ AC ）与全弦所对弧的一半（ AD ）相对应，即将 AC 与 ∠AOC 对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。 印度人 称连结 弧 （ AB ）的两端的弦（ AB ）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（ AC ） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪， 阿拉伯文 被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。  古希腊历史 早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。 古希腊 三角术的奠基人是公元前2世纪的 喜帕恰斯 。他按照 古巴比伦 人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的 弧度制 不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。 梅涅劳斯 在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的 梅涅劳斯定理 。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的 托勒密 时代达到了高峰，托勒密在《 数学汇编 》（ Syntaxis Mathematica ）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。 古希腊文化传播到 古印度 后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家 阿耶波多 提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了 正切 和 余切 、 正割 和 余割 的概念，并计算了间隔10分（10′ ） 的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。 阿拉伯历史 进入15世纪后， 阿拉伯数学 文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的 三角函数值 表。 哥白尼 的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒（10″ ） 的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将 古希腊 有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。 弗朗索瓦·韦达 给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。 18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的 无穷级数 表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。 莱布尼兹 在1673年左右也独立得到了这一结果。 欧拉 的《无穷小量分析引论》（ Introductio in Analysin Infinitorum ，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了 欧拉公式 ，还有使用接近现代的简写 sin. 、 cos. 、 tang. 、 cot. 、 sec. 和 cosec. 。 弦表的发明 根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列 直角三角形 ，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 （Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的 圆 内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。 据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把 圆周 360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上” 分 ”和” 秒 ”这两个单位得起源。 建立了半径与圆周的度量单位以后， 希帕克 和 托勒密 先着手计算一些特殊 圆弧 所对应的弦长。比如 60°弧（1/6圆 周长 ）所对的弦长，正好是内接 正六边形 的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的” 托勒密定理 ”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。 传入中国 三角学 输入中国，开始于明 崇祯 4年（1631年），这一年， 邓玉函 、 汤若望 和 徐光启 合编《 大测 》，作为 历书 的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大 测 》中，首先将sine译为”正半弦”，简称” 正弦 ”，这就成了“正弦” 一词 的由来。  定义 直角三角形三角函数定义 在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个 直角三角形 ，其中∠ACB为 直角 。对∠BAC而言， 对边 （opposite）a=BC、 斜边 （hypotenuse）c=AB、 邻边 （adjacent）b=AC，则存在以下关系： 基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述 三角形 正弦函数 sine sin a/c ∠A 的对边比斜边 余弦函数 cosine cos b/c ∠A 的邻边比斜边 正切函数 tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边 余切函数 cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边 正割函数 secant sec c/b ∠A 的斜边比邻边 余割函数 cosecant csc c/a ∠A 的斜边比对边 注：正切函数、余切函数曾被写作 tg 、 ctg ， 现已不用这种写法 。 基本三角函数关系的速记方法 六边形 如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系： 1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。 2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ... 3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：  ；  ；  。 变化规律 正弦 值在  随角度增大（减小）而增大（减小），在  随角度增大（减小）而减小（增大）； 余弦值在  随角度增大（减小）而增大（减小），在  随角度增大（减小）而减小（增大）； 正切 值在  随角度增大（减小）而增大（减小）； 余切值在  随角度增大（减小）而减小（增大）。 注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。 除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数： 函数名 与常见函数转化关系   正矢函数 versin 余矢函数 半正矢函数 半余矢函数 外正割函数 外余割函数 任意角三角函数定义 在 平面直角坐标系 xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：  ，  ，  ，  ，  ，  。 单位圆定义 三角函数 六个三角函数也可以依据 半径 为1中心为原点的 单位圆 来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于 直角三角形 。但是 单位圆 定义的确允许三角函数对所有 正数 和 负数 辐角都有定义，而不只是对于在 0  和 π/2 弧度 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都 包含 了。根据 勾股定理 ，单位圆的 方程 是：对于圆上的任意点（ x,y ）， x²+y²=1 。 图像中给出了用 弧度 度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是 正角 ，而顺时针的度量是 负角 。设一个过 原点 的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cosθ 和 sinθ 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y /1和 cosθ = x /1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2π 或小于等于 2π  的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π 的 周期函数 ：对于任何角度 θ 和任何 整数 k 。 周期函数的 最小正周期 叫做这个函数的“ 基本周期 ”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。 在 正切函数 的图像中，在角 k π 附近变化缓慢，而在接近角 （ k + 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （ k + 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （ k + 1/2）π 的时候函数接近 正无穷 ，而从右侧接近 （ k + 1/2）π 的时候函数接近负无穷。 三角函数 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的 弦 AB ，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC （半弦），这是印度的 阿耶波多 介入的定义。cos θ 是水平距离 OC ，versin θ =1-cos θ 是 CD 。tan θ 是通过 A 的 切线 的 线段 AE 的长度，所以这个函数才叫 正切 。cot θ 是另一个切线段 AF 。sec θ = OE 和csc θ = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。 DE 是exsec θ =sec θ -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出 正割 和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ接近零的时候发散。 依据单位圆定义，可以做三个 有向线段 （ 向量 ）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是 α 的 终边 与单位圆上的交点，M点是 P 在 x 轴的投影， A （1,0）是圆O与x轴 正半轴 的交点，过A点做过圆O的 切线 。 那么向量 MP 对应的就是 α 的 正

高中文科数学知识点总结

一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如： —函数的定义域； —函数的值域； —函数图象上的点集.2.集合的性质： ①任何一个集合 是它本身的子集,记为 . ②空集是任何集合的子集,记为 . ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况 如： ,如果 ,求 的取值.(答： ) ④ , ； ； . ⑤ . ⑥ 元素的个数： . ⑦含 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为 ；非空真子集个数为 .3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ,使 ,求实数 的取值范围.(答： )4.原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“ ”是“ ”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若 且 ,则 是 的充分非必要条件(或 是 的必要非充分条件).6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是 . 命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的否定是“ 或 ”. 如：“若 和 都是偶数，则 是偶数”的否命题是“若 和 不都是偶数,则 是奇数” 否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数”.7.常见结论的否定形式原结论 否定 原结论 否定是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 个至多有 个小于 不小于 至多有 个至少有 个对所有 ,成立存在某 ,不成立 或 且 对任何 ,不成立存在某 ,成立 且 或 8.且命题、或命题与否命题： 且命题‘同真则真、一假则假’或命题‘同假则假、一真则真’9.全称命题与特称命题：例“任意x∈R，x2+1≥0” 的否定为“存在x∈R，x2+1＜0” 二.函数1.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.2.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 ,底数 且 ；零指数幂的底数 )；实际问题有意义；若 定义域为 ,复合函数 定义 域由 解出；若 定义域为 ,则 定义域相当于 时 的值域.3.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).4.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。5.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若 是偶函数,那么 ；定义域含零的奇函数必过原点( )； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或 ； ⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如 定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数 的单调递增区间是 .(答： )6.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对 而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对 而言).⑵翻折变换： ； . ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像 与 的对称性,即证 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 上,反之亦然. ③函数 与 的图像关于直线 ( 轴)对称；函数 与函数 的图像关于直线 ( 轴)对称； ④若函数 对 时， 或 恒成立,则 图像关 于直线 对称；7.函数的周期性：⑴若 对 时 恒成立,则 的周期为 ； ⑵若 是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ； ⑶若 奇函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ； ⑷若 关于点 , 对称,则 的周期为 ； ⑸ 的图象关于直线 , 对称,则函数 的周期为 ； ⑹ 对 时, 或 ,则 的周期为 ；8.对数：⑴ ；⑵对数恒等式 ； ⑶ ； ；⑷对数换底公式 ；9.方程 有解 ( 为 的值域)； 恒成立 , 恒成立 .恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；10.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；11.二次函数解析式的三种形式： ①一般式： ；②顶点式： ； ③零点式： .12.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区间端点函数值符号;13.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合函数 的定义域可由 不等式 解出；若 的定义域为 ,求 的定义域，相当于 时,求 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.三.数列1.由 求 , 注意验证 是否包含在后面 的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列 满足 ，求 (答： ).2.等差数列 ( 为常数) ；3.等差数列的性质： ① , ； ② (反之不一定成立)；特别地,当 时,有 ； ③若 、 是等差数列,则 ( 、 是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； ⑤等差数列 ,当项数为 时, , ；项数为 时, , ,且 ； . ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或 ).也可用 的二次函数关系来分析. ⑦若 ,则 ；若 ,则 ； 若 ,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)； .4.等比数列 .5.等比数列的性质 ① , ；②若 、 是等比数列，则 、 等也是等比数列； ③ ；④ (反之不一定成 立)； . ⑤等比数列中 (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列 当项数为 时, ；项数为 时, .6.①如果数列 是等差数列,则数列 ( 总有意义)是等比数列；如果数列 是等比数列, 则数列 是等差数列； ②若 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列； ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； ④三个数成等差的设法： ；四个数成等差的设法： ； 三个数成等比的设法： ；四个数成等比的错误设法： (为什么？)7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⑵已知 (即 )求 用作差法： . ⑶已知 求 用作商法： . ⑷若 求 用迭加法. ⑸已知 ,求 用迭乘法. ⑹已知数列递推式求 ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如 , , ( 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后, 再求 .②形如 的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式： ； ； ； ；常见裂项公式 ； ；常见放缩公式： .四.三角函数1. 终边与 终边相同 ； 终边与 终边共线 ； 终边 与 终边关于 轴对称 ； 终边与 终边关于 轴对称 ； 终边与 终边关于原点对称 ； 终边与 终边关于角 终边对称 .2.弧长公式： ；扇形面积公式： ； 弧度( )≈ .3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： ； ；4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、 ”的关系. 如 等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视a为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如： ； ； ； ； 等；“ ”的变换： ；7.重要结论： 其中 ）；重要公式 ； 8.正弦型曲线 的对称轴 ；对称中心 ； 余弦型曲线 的对称轴 ；对称中心 ；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于 ,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理： ； 余弦定理： ；面积公式： ；射影定理： .10. 中,易得： ,① , , . ② , , . ③ ④锐角 中, , , ,类比得钝角 结论. ⑤ .11.角的范围：异面直线所成角 ；直线与平面所成角 ；二面角和两向量的夹角 ；直线 的倾斜角 ； 到 的角 ； 与 的夹角 .注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.五.平面向量1.设 , . (1) ；(2) .2.平面向量基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向 量 ,有且只有一对实数 、 ,使 .3.设 , ,则 ；其几何意义是 等于 的长度 与 在 的方向上的投影的乘积； 在 的方向上的投影 .4.三点 、 、 共线 与 共线；与 共线的单位向量 .5.平面向量数量积性质：设 , ,则 ；注意: 为锐角 , 不同向； 为直角 ； 为钝角 , 不反向.6. 同向或有 ； 反向或有 ； 不共线 .7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若 , ,则 ； ； ⑵若 ,则 .六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： ①若 , ,则 .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 ,则 (当且仅当 时 取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2) ， (当且仅当 时,取等号)；(3)公式注意变形如： , ；(4)若 ,则 (真分数的性质)；4.含绝对值不等式： 同号或有 ； 异号或有 .5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较： .注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如： ； .②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如： .④利用常用结论： ； (程度大)； (程度小)； ⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知 ,可设 ；知 ,可设 , ( )；知 ,可设 ；已知 ,可设 . ⑺最值法,如： ,则 恒成立. ,则 恒成立.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角 的范围是 ；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 (如右图)：3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直线 方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在 轴上的截距为 和斜率 ，则直线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 、 两点,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标轴的直线. ⑷截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标 轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 ( 不同时为0)的形式. 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 .直线两截距相等 直线的斜率为 或直线过 原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线 与直线 的位置关系： ⑴平行 (斜率)且 (在 轴上截距)； ⑵相交 ；(3)重合 且 .5.点 到直线 的距离公式 ； 两条平行线 与 的距离是 .6.设三角形 三顶点 , , ,则重心 ；7.有关对称的一些结论 ⑴点 关于 轴、 轴、原点、直线 的对称点分别是 , , , . ⑵曲线 关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点 ： ； ② 轴： ；③ 轴： ；④原点： ；⑤直线 ： ；⑥直线 ： ；⑦直线 ： .8.⑴圆的标准方程： . ⑵圆的一般方程： .特别提醒：只有当 时,方程 才表示圆心为 ,半径为 的圆(二元二次方程 表示圆 ,且 ). ⑶圆的参数方程： ( 为参数),其中圆心为 ,半径为 .圆的参数方程主要应用是 三角换元： ； . ⑷以 、 为直径的圆的方程 ；10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 及圆的方程 .① 点 在圆外； ② 点 在圆内；③ 点 在圆上.11.圆上一点的切线方程：点 在圆 上,则过点 的切线方程为： ； 过圆 上一点 切线方程为 .12.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 轴垂直的直线.13.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.① 相离 ② 相切 ③ 相交14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 , 两圆的半径分别为 ： 两圆相离； 两圆相外切； 两 圆相交； 两圆相内切； 两圆内含； 两圆同心.15.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八.圆锥曲线方程1.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 (弦端点 ,由方程 消去 得到 , , 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；2.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 ,焦准距为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为 ； 双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ；3.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 (对于椭圆 )；4.抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）为 , 、 ,则有如下结论： ⑴ ；⑵ , ； ⑶ .5.对于 抛物线上的点的坐标可设为 ,以简化计算.6.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线斜率 ；在双曲线 中,以 为中点的弦所 在直线斜率 ；在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 .7.求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立 、 之间的关系，构成 ,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将 、 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.8.解析几何与向量综合的有关结论： ⑴给出直线的方向向量 或 .等于已知直线的斜率 或 ； ⑵给出 与 相交,等于已知 过 的中点； ⑶给出 ,等于已知 是 的中点; ⑷给出 ,等于已知 与 的中点三点共线; ⑸给出以下情形之一： ① ； ②存在实数 ,使 ； ③若存在实数 , 且 ；使 ,等于已知 三点共线. ⑹给出 ,等于已知 是 的定比分点, 为定比,即 ⑺给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已 知 是钝角或反向共线,给出 ,等于已知 是锐角或同向共线. ⑼在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是菱形. ⑽在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是矩形.⑾在 中,给出 ，等于已知 是 的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点). ⑿在 中,给出 ，等于已知 是 的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点). ⒀在 中,给出 ，等于已知 是 的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点). ⒁在 中,给出 等于已知 通过 的内心. ⒂在 中,给出 等于已知 是 的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). ⒃在 中,给出 ,等于已知 是 中 边的中线.等可能事件的概率公式：⑴ ； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为： ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 ；⑷独立重复试验 概率公式 ；⑸如果事件 与 互斥，那么事件 与 、 与 及事件 与 也都是互斥事件；⑹如果事件 、 相互独立，那么事件 、 至少有一个不发生 的概率是 ；（6）如果事件 与 相互独立，那么事件 与 至少有 一个发生的概率是 .十三.导数1.导数的定义： 在点 处的导数记作 .2.函数 在点 处有导数,则 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数 的曲线在点 处有切线,则 在该点处不一定可导.如 在 有切线,但不可导.3.函数 在点 处的导数的几何意义是指：曲线 在点 处切线的斜率, 即曲线 在点 处的切线的斜率是 ,切线方程为 .4.常见函数的导数公式: ( 为常数)； . ； ； ； ； . 5.导数的四则运算法则： ； ； .6.复合函数的导数： .7.导数的应用： (1)利用导数判断函数的单调性：设函数 在某个区间内可导,如果 ,那么 为增 函数；如果 ,那么 为减函数；如果在某个区间内恒有 ,那么 为常数； (2)求可导函数极值的步骤：①求导数 ；②求方程 的根；③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数 在这个根处取得最大值；如果左负 右正,那么函数 在这个根处取得最小值； (3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求 在 内的极值；②将 在各极值点 点的极值与 、 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.十四.复数1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴ 且 ；⑵复数是 实数的条件：① ；② ；③ .3.复数是纯虚数的条件: ① 是纯虚数 且 ； ② 是纯虚数 ；③ 是纯虚数 .4.⑴复数的代数形式： ；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设 , ,则 , , .十五.注意答题技巧训练1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. ⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌， 影响下面做题的情绪. ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧 张,也许待会儿根本顾不上再来思考. ⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间 再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完 后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总 之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化. ⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集 合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 .在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括 号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开. ⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论. ⑷任何结果要最简.如 等. ⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数). ⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 或 的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线